Biografia de Pitágoras: Vida e obra de um matemático
Pitágoras
Pitágoras representado por Rafael Sanzio em sua celebrada pintura
Pequena Biografia
Pitágoras (570-500 a.C.)
foi um matemático grego, tendo sido também lider religioso, místico,
sábio e filósofo. Nasceu em Samos, uma ilha grega na costa marítima do
que hoje é a Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quilômetros a sudeste de Samos, aprendeu Matemática com Tales (624-546 a.C.),
considerado o fundador da Matemática grega. Segundo antigos
historiadores, Pitágoras viajou para o Egito e para a Babilônia, onde é
provável que tenha se encontrado com o profeta Daniel. É provável
também que Pitágoras tenha estudado na Índia. Sua crença na reencarnação
talvez tenha origem indiana. Um de seus contemporâneos é Buda, e é
provável que Pitágoras e Buda tenham se encontrado. Em torno de 525 a.C.
Pitágoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da Itália, onde
fundou a Ordem (Escola) Pitagórica. Casou-se com Teano, provavelmente a
primeira mulher matemática da história.
A Escola Pitagórica
O termo Escola Pitagórica se refere a uma
escola filosófica no sentido histórico cuja existência se prolongou por
mil anos desde sua fundação. O modo de vida e as doutrinas atribuídas a
Pitágoras, provenientes de sua escola, recebem o nome de pitagorismo.
Segundo historiadores, a Escola Pitagórica tinha um caráter
peculiarmente duplo. Por um lado, dedicava-se a questões espirituais: os
pitagóricos acreditavam na imortalidade da alma e na reencarnação e
tinham a auto-reflexão como um dever consciente e imprescindível na
espiritualização da vida. Por outro lado, como parte dessa
espiritualização, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música, o
que lhe imprimiu um caráter também científico, no sentido moderno da
palavra. O estudo da Matemática - confundindo-se com a filosofia, pois
"tudo é número" - era feito para promover a harmonia da alma com o
cosmo. Dentre os princípios filosóficos que norteavam a escola
pitagórica, destacam-se: a alma é imortal e reencarna-se; os
acontecimentos da história repetem-se em certos ciclos; nada é
inteiramente novo; todas as coisas vivas são afins; os princípios da
Matemática são os princípios de todas as coisas.
Dentre os principais nomes da Escola Pitagórica destamos: Filolaus de Tarento (nasceu c. 470 a. C. e morreu c. 390 a. C.), Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a. C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a.
C.). O pitagorismo influenciou fortemente as obras de Demócrito de
Abdera e Platão. Alguns séculos mais tarde houve uma revivência da
Escola Pitagórica, e seus protagonistas passaram a ser chamados de
neo-pitagóricos. Dentre esses destacamos Nicômaco de Gerasa, que viveu
em torno do ano 100.
Tudo é Número
Os Pitagóricos chegaram à razoável
conclusão, em seus estudos, de que "tudo são números". Essa afirmação
parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da
Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.
Os Pitagóricos notaram haver uma relação
matemática entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma
corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota.
Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima.
Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima.
Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão
harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b) 2.
Pitágoras dava especial atenção ao número
10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem
dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de
Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um
pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação
mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.
Pentágono de cinco pontas:
figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola Pitagórica.
As diagonais do pentágono regular
cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um
segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão
entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e
o todo, ou seja, AC/CB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo
áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o
retângulo de maior beleza.
A ÁRVORE DE PITÁGORAS
A figura em forma de árvore da página de abertura do Hipertexto Pitágoras é um fractal tridimensional chamado Árvore de Pitágoras.
Nossa versão da Árvore de Pitágoras foi construída por Yolanda Kioko Saito Furuya com o aplicativo Maple V, adaptando uma figura de Harm Derksen.
João Carlos Vieira Sampaio
A figura da Árvore de Pitágoras nos
recorda que a Matemática é às vezes comparada com uma árvore, com raízes
(Fundamentos da Matemática), tronco (estruturas numéricas e
geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a Análise e a
Geometria). Independentemente de ser ou não apropriada essa comparação,
vamos fazer uma breve descrição da Matemática, conforme a vemos hoje.
O que é Matemática.
Os matemáticos, em geral, preferem se
abster de definir a Matemática. Penso que isso se deve a um sentimento
ou a uma impressão de que, apesar do muito que já foi conseguido no
desenvolvimento dessa ciência, algo de grande importância ainda precisa
ser compreendido, conforme sugere a citação. Conscientes do caráter
efêmero de tudo que é construído pelo homem, talvez seja mais prudente
aguardar o amadurecimento dos tempos, e limitar nossas considerações à
descrição do que tem sido efetivamente conseguido.
Quanto ao uso da palavra matemática diz a tradição que isso teve origem com Pitágoras. Segundo Anglin [1] pág. 33, a raiz do termo matemática deriva de uma língua Indo-Européia e seu significado é relacionado com a palavra mente.
Quanto ao uso da palavra matemática diz a tradição que isso teve origem com Pitágoras. Segundo Anglin [1] pág. 33, a raiz do termo matemática deriva de uma língua Indo-Européia e seu significado é relacionado com a palavra mente.
Referências
[1] Derksen, H., Árvore de Pitágoras, em http://www.maplesoft.com/cybermath/samples.html.
[2] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.
[3] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras tridimensional. 1998, UFSCar.
[1] Derksen, H., Árvore de Pitágoras, em http://www.maplesoft.com/cybermath/samples.html.
[2] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.
[3] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras tridimensional. 1998, UFSCar.
A representação de Pitágoras foi adaptada da página. http://christusrex.org/www1/stanzas/S2-Segnatura.html. As figuras do pentágono e da estrela de cinco pontas foram preparadas por Roberto Paterlini, do DM-UFSCar, com o Corel 7. As outras figuras foram preparadas por Yolanda Kioko Saito Furuya, do DM-UFSCar.
A crise na Escola Pitagórica
Uma das mais importantes descobertas da
Escola Pitagórica foi a de que dois segmentos nem sempre são
comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão entre os comprimentos de dois
segmentos é uma fração de números inteiros (número racional). Essa
descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras: se um
triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa terá um
comprimento x satisfazendo x2 = 2, e portanto a
razão entre a hipotenusa e um cateto não será uma fração de dois
inteiros, já que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Parece que
isso desgostou profundamente os Pitagóricos pois era uma descoberta
inconciliável com a teoria dos números pitagórica. Somente no século IV
a.C., Eudoxo, com sua teoria das proporções, redefiniu um conceito mais
geral de razão entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria,
definir-se a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.
Acesso a outros endereços na internet sobre Pitágoras
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html. Acesso à página sobre Pitágoras no sítio MacTutor History of Mathematics.
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit3/unit3.html. Pythagoras & Music of the Spheres.
Referências
[1] Anglin, W. S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York, Springer Verlag, 1994.
[2] Anglin, W. S. e Lambek, J., The Heritage of Thales. New York, Springer Verlag, 1995.
[3] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.
[4] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.[5] Honderich, T., The Oxford Companion to Philosophy. Oxford, Oxford University Press, 1995.[6] Rezende, A., Curso de Filosofia. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Editor, 1999.
[1] Anglin, W. S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York, Springer Verlag, 1994.
[2] Anglin, W. S. e Lambek, J., The Heritage of Thales. New York, Springer Verlag, 1995.
[3] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.
[4] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.[5] Honderich, T., The Oxford Companion to Philosophy. Oxford, Oxford University Press, 1995.[6] Rezende, A., Curso de Filosofia. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Editor, 1999.
O Teorema de Pitágoras
Yolanda Kioko Saito Furuya
Relacionado ao nome de Pitágoras temos o famoso Teorema de Pitágoras, amplamente utilizado na Matemática Elementar.
Teorema de Pitágoras
Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Em outros termos, se a e b são os catetos do triângulo retângulo e se c é sua hipotenusa, então a2 + b2 = c2.
A figura abaixo mostra o significado
geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a
hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os
catetos.
A tradição matemática ocidental, durante
longo tempo, atribuiu a descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas
históricas mais recentes constataram que o teorema era conhecido pelos
babilônios, cerca de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras (confira [2], p. 61 e 63). Os chineses o conheciam talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente cerca de 500 a.C. (confira [1], cap. 12).
Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema é conhecida como a demonstração do quadrado chinês.
Dado um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, construímos dois quadrados de mesmo lado a+b.
Em cada um desses quadrados dispomos quatro cópias do triângulo
retângulo, como na figura abaixo (em vermelho). A soma das áreas
remanescentes do primeiro quadrado (em amarelo e verde) é igual à área
remanescente do segundo quadrado (em azul). Portanto a2+b2=c2.
Outra demonstração, também obtida da
decomposição do quadrado, é atribuída a Bhaskara, matemático hindu do
Século XII. Segundo [2], p. 258, Bhaskara teria apenas desenhado a
figura e escrito "Veja!", sem dar maiores explicações.
O quadrado maior, de lado c, é decomposto em quatro cópias do triângulo retângulo e mais um pequeno quadrado de lado a - b.
Existem por volta de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Na internet você pode obter mais informações:
· O
matemático Einar Andreas Rodland, entrando em uma lanchonete, observou
que o desenho do piso podia ser usado para uma demonstração do Teorema
de Pitágoras. Você pode ler sobre esta história em http://www.math.uio.no/~einara/McPyth.html.
· Você
pode fazer uma inesquecível viagem na Internet e estudar uma
visualização animada, construída por Jim Morey, de uma das demonstrações
do Teorema de Pitágoras atribuídas a Euclides. O endereço é http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html.
· Alexander Bogomolny apresenta em http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html 28 provas do Teorema de Pitágoras assim como acesso a outras páginas da internet relacionadas com o mesmo tema.
· Em http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html, página do Eric Weisstein's World of Mathematics, você encontra informações adicionais.
Referências
[2] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.
Fonte: matematica na veia
